反馈系统闭环传递函数的推导

引言

反馈系统是指将系统输出信号反馈到系统输入，从而控制系统行为的一组技术。在工程领域，反馈控制系统被广泛应用于各种自动化系统中。在反馈控制系统中，闭环传递函数是一个重要的概念。闭环传递函数描述了系统输出响应与输入激励之间的关系，是分析和设计反馈控制系统时必须了解的知识。

闭环传递函数的定义

闭环传递函数是指系统输出信号与输入信号之间的传递函数，在反馈控制系统中起着至关重要的作用。闭环传递函数可以定义为： $$ T(s)=\\frac{Y(s)}{R(s)}=\\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} $$ 其中，$Y(s)$表示系统的输出信号，$R(s)$表示系统的输入信号，$G(s)$表示系统的传递函数，$H(s)$表示反馈通道的传递函数。

推导闭环传递函数的过程

推导闭环传递函数的过程可以分为以下几步： 1. 将反馈控制系统表示为传递函数形式。 2. 将反馈系统的输入信号表示为两个因素的乘积，即$R(s)=E(s)H(s)$。 3. 将系统的输出信号表示为两个部分的和，即$Y(s)=E(s)G(s)+F(s)$。 4. 将步骤3中定义的$Y(s)$和$R(s)$代入到闭环传递函数的定义中得到： $$ T(s)=\\frac{Y(s)}{R(s)}=\\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} $$ 5. 将步骤3中定义的$Y(s)$和$R(s)$代入到控制系统的传递函数中得到： $$ Y(s)=E(s)G(s)+F(s)=E(s)G(s)+H(s)Y(s)-H(s)E(s)G(s)+F(s) $$ 6. 再次整理上式，得到： $$ Y(s)(1+G(s)H(s))=E(s)G(s)+F(s) $$ 7. 将上式两边同时除以$E(s)$，得到： $$ \\frac{Y(s)}{E(s)}\\cdot\\frac{1}{1+G(s)H(s)}=\\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}+\\frac{F(s)}{E(s)} $$ 由于$R(s)=E(s)H(s)$，所以$\\frac{Y(s)}{E(s)}=\\frac{Y(s)/R(s)}{1/H(s)}$，代入到上式，可得： $$ \\frac{Y(s)}{R(s)}\\cdot H(s)=\\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}+\\frac{F(s)}{E(s)} $$ 8. 最终得到闭环传递函数的表达式： $$ T(s)=\\frac{Y(s)}{R(s)}=\\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} $$

闭环传递函数是反馈控制系统中的重要概念，它描述了系统输出响应与输入激励之间的关系。通过推导闭环传递函数的过程，我们可以深入了解反馈控制系统的原理和设计方法，并且能够更好地应用反馈控制系统解决实际问题。

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