幂函数定义域值域例题（幂函数的定义域、值域及例题分析）
幂函数的定义域、值域及例题分析
幂函数的定义
幂函数是指由自变量x的一个正整数次幂和一个实数系数所构成的函数，通常记为y=x^a（a≠0，a是常数）。其中，x称为底数，a称为指数，y称为幂函数。当a为正数时，幂函数在定义域内单调递增，在定义域外单调递减，当a为负数时，幂函数在定义域内单调递减，在定义域外单调递增。
幂函数的定义域
幂函数的定义域是指输入变量x的取值范围，即使函数值能够被合理计算的所有实数x的集合。由于幂函数的幂次不能是0，因此幂函数的定义域是所有实数除了0，即x∈R，x≠0。
幂函数的值域及例题分析
幂函数的值域是指函数的所有可能取值。幂函数的值域根据a的正负性分别讨论。
情况一：a>0
当指数a为正数时，幂函数在定义域内单调递增，没有最小值，并且可以取得任意大的正值，即值域为(0,+∞)。例如，幂函数y=2x^3在[0, +∞)内的值域为(0, +∞)。
例题：
已知幂函数y=x^3，若x∈[-2,2]，求y的最小值。
由于幂函数在定义域内单调递增，所以最小值应当在x=-2或x=2处取得。
当x=-2时，y=(-2)^3=-8；当x=2时，y=2^3=8。
因此，y的最小值为-8。
答案：-8。
情况二：a<0
当指数a为负数时，幂函数在定义域内单调递减，并且可以取得任意小的正值，即值域为(0,+∞)的开区间。例如，幂函数y=2x^(-3)在[0, +∞)内的值域为(0, +∞)。
例题：
已知幂函数y=x^(-2)，若x∈(0,1)，求y的最大值。
由于幂函数在定义域内单调递减，所以最大值应当在x=1处取得。
当x=1时，y=1^(-2)=1。
因此，y的最大值为1。
答案：1。
情况三：a=0
当指数a等于0时，幂函数就变成了常数函数y=c（c为常数），其定义域为全体实数，值域为{c}。例如，幂函数y=3^0在全体实数域内的值域为{1}。
例题：
已知幂函数y=x^0，求y的值域。
当x≠0时，x^0=1，因此，y的值域为{1}。
当x=0时，x^0=1，因此仍然属于{1}，此时y的定义域为全体实数，与y的值域相同。
因此，幂函数y=x^0在全体实数域内的值域为{1}。
答案：{1}。
总结
幂函数的定义域是所有实数除了0，即x∈R，x≠0。当指数a为正数时，幂函数在定义域内单调递增，值域为(0,+∞)。当指数a为负数时，幂函数在定义域内单调递减，并且可以取得任意小的正值，值域为(0,+∞)的开区间。当指数a等于0时，幂函数就变成了常数函数。
