棱垂直的三棱锥

定义

三棱锥是一种四面体，它有一个底面和三个共顶点的三角形侧面。若三条棱两两垂直，则称其为棱垂直的三棱锥。

性质

1. 棱垂直的三棱锥有两个等腰三角形侧面，一个正三角形侧面。

证明：设棱垂直的三棱锥的顶点为A，底面为$△ABC$，$BC=a$，$AB=AC=b$，侧面$△ABD$和$△ACD$均为等腰三角形，则$BD=CD=\\sqrt{b^2-a^2}$，$AD=\\sqrt{2}b$，$AB^2=AC^2=\\sqrt{2}b^2$，$BC^2=a^2$。根据勾股定理可知，$AD^2=AB^2+BD^2=\\sqrt{2}b^2+b^2-a^2=3b^2-a^2$，$AD^2=AC^2+CD^2=\\sqrt{2}b^2+b^2-a^2=3b^2-a^2$。所以，$3b^2-a^2=3b^2-a^2$，得证。

2. 棱垂直的三棱锥的高线相互垂直。

证明：如图所示，设高线$AE$和$BD$相交于点$F$，$BCD$是三棱锥的其中一个底面，则肯定有$\\angle FBC=\\angle FCD=90^{\\circ}$，而$\\angle AFB=\\angle AEB=90^{\\circ}$，因此四边形$ABFE$是一个可构造的矩形。因为$AB=EF$，所以$BE$是一个公共边，因此$\riangle ABE \\cong \riangle FBE$，$\\angle BAD=\\angle BFE$，$\\angle EFD=\\angle CAB$，所以$AE\\perp BD$，得证。

3. 两组相交的斜棱面内角和相等。

证明：如图所示，$△ABC$和$△ADC$是两组相交的斜棱面，交线为$AD$。在平面$ABC$上延长$AD$交于点$E$，则有$\\angle AEC=180^{\\circ}-\\angle BAC-\\angle CAD$。由Ceva定理，$AE$，$BD$，$CF$三线交于一点，则根据三棱锥的高线定理，$AB\imes AE=AC\imes AD$，即：$\\dfrac{AE}{AD}=\\dfrac{AC}{AB}$，$\\dfrac{AF}{AD}=\\dfrac{AB}{AC}$。而$\\angle EAF=\\angle BAC$，$\\angle AEF=\\angle ADB=\\angle DAC$，因此$\riangle AFE \\sim \riangle ABC$，$\riangle AEF \\sim \riangle ADC$。显然，$\\angle BAE=\\angle CAF$，$\\angle EAF=\\angle DAF$。所以： $\\angle ABC+\\angle ADC=\\angle AFE+\\angle AEF=\\angle AEF+\\angle ADB+\\angle ACD=\\angle AEF+\\angle AEF+\\angle ADB$ $=2\\angle AEF+\\angle AEB+\\angle AEC=\\angle AEF+\\angle AFA+\\angle AEC=\\angle AEC+\\angle AEF+\\angle AFA$ $=\\angle BAF+\\angle CAF+\\angle AFA=180^{\\circ}$，得证。

总结

棱垂直的三棱锥的性质包括有两个等腰三角形侧面，一个正三角形侧面；高线相互垂直；两组相交的斜棱面内角和相等。这些性质在计算面积和体积的时候非常有用，同时也为三棱锥的几何性质提供了更多的证明途径。