等差数列公式推导

一、差为1的等差数列

公式：

$$a_n = a_1 + (n-1)$$

推导过程：

假设初项为$a_1$，公差为$d=1$的等差数列为：

$$a_1, a_2, a_3, ..., a_{n-1}, a_n$$

其中，$a_n$为该等差数列第$n$项，要推导出通项公式。

根据等差数列的定义，有：

$$a_2 = a_1 + d = a_1 + 1$$

$$a_3 = a_2 + d = a_1 + 1 + 1 = a_1 + 2$$

$$a_4 = a_3 + d = a_1 + 2 + 1 = a_1 + 3$$

...

$$a_n = a_{n-1} + d = a_1 + (n-2) + 1 = a_1 + (n-1)$$

因此，差为1的等差数列通项公式为：

$$a_n = a_1 + (n-1)$$

二、一般情况的等差数列

公式：

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

推导过程：

假设初项为$a_1$，公差为$d\ eq 1$的等差数列为：

$$a_1, a_2, a_3, ..., a_{n-1}, a_n$$

其中，$a_n$为该等差数列第$n$项，要推导出通项公式。

根据等差数列的定义，有：

$$a_2 = a_1 + d$$

$$a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$$

$$a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d$$

...

$$a_n = a_{n-1} + d = a_1 + (n-2)d + d = a_1 + (n-1)d$$

因此，一般情况的等差数列通项公式为：

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

三、等差数列的前n项和

公式：

$$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

推导过程：

等差数列的前$n$项和为：

$$S_n = a_1 + (a_1 + d) + ... + (a_1 + (n-2)d) + (a_1 + (n-1)d)$$

将等差数列的通项公式代入：

$$S_n = a_1 + (a_1 + d) + ... + (a_1 + (n-2)d) + (a_1 + (n-1)d)$$

$$S_n = na_1 + d(1+2+...+(n-1))$$

$$S_n = na_1 + \\frac{d}{2}n(n-1)$$

将通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$代入：

$$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

因此，等差数列的前$n$项和公式为：

$$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

综上，我们推导出了等差数列的三个重要公式，即差为1的等差数列通项公式、一般情况的等差数列通项公式和等差数列的前$n$项和公式。这些公式在数学、物理等领域有着广泛的应用，对于学习和研究这些领域的人们来说，是不可或缺的工具。