多项式除法余数的求法

多项式除法的基本定义

多项式是由若干个系数和自变量的幂次构成的代数式，例如 f(x) = ax^2 + bx + c。多项式除法是指，给定两个多项式 f(x) 和 g(x)，要求求出相应的商式 Q(x) 和余数 R(x)，使得 f(x) = g(x)Q(x) + R(x)，且 R(x) 的次数低于 g(x) 的次数。

多项式除法的步骤

多项式除法的求法可以分为以下步骤： 步骤一：确定除式 g(x) 和被除式 f(x)，并按照降次排列。 步骤二：将除式 g(x) 的首项与被除式 f(x) 的首项相乘，并将乘积除以 g(x) 的首项系数，得到商式 Q1(x) 的首项系数。 步骤三：将商式 Q1(x) 乘以 g(x)，得到 Q1(x)×g(x)。 步骤四：将 Q1(x)×g(x) 减去被除式 f(x)，得到余数 R1(x)。 步骤五：如果余数 R1(x) 的次数不低于 g(x) 的次数，则将 R1(x) 作为新的被除式，重复步骤二至步骤四，直到得到低于 g(x) 的次数为止。 步骤六：最终得到的商式 Q(x) 和余数 R(x) 就是所求的结果。

一个多项式除法的例子

假设我们要求多项式 f(x) = 3x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 4x + 5 除以 g(x) = x^2 + x + 1 的余数。 按照步骤一，将 f(x) 和 g(x) 按照降次排列，得到： f(x) = 3x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 4x + 5 g(x) = x^2 + x + 1 按照步骤二，将 g(x) 的首项 x^2 与 f(x) 的首项 3x^4 相乘，得到 3x^6，将其除以 g(x) 的首项系数 1，得到商式 Q1(x) 的首项系数 3x^4。 按照步骤三，将 Q1(x) 乘以 g(x)，得到 3x^4 + 3x^3 + 3x^2。 按照步骤四，将 Q1(x)×g(x) 减去 f(x)，得到新的余数 R1(x)，即： (3x^4 + 3x^3 + 3x^2) - (3x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 4x + 5) = x^3 + 8x^2 + 4x - 5 由于 R1(x) 的次数不低于 g(x) 的次数，按照步骤五，将 R1(x) 作为新的被除式，重复步骤二至步骤四。这里不再赘述，最终得到的商式 Q(x) 和余数 R(x) 分别为： Q(x) = 3x^2 + 2x - 5 R(x) = 14x - 10 因此，f(x) 除以 g(x) 的余数为 R(x) = 14x - 10。

总结

多项式除法是解决二次方程、三次方程和高次方程求解的重要方法。要求多项式除法的余数，需要按照步骤一至步骤六进行，每一步都需要仔细推导。 注意，在进行多项式除法时，被除式的次数必须不低于除式的次数。如果除式的次数较高，则需要在多项式上补齐高次数项，使得被除式的次数不低于除式的次数。