柳彬常微分方程第二章笔记：一阶线性微分方程

一、定义及基本概念

一阶线性微分方程的一般形式为：$$\\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$ 其中$P(x),Q(x)$是已知的已知函数。如果方程中$Q(x)\\equiv0$，则称为齐次线性微分方程；否则称为非齐次线性微分方程。

对于齐次线性微分方程，可以先求出其通解$y=Ce^{-\\int P(x)dx}$，然后再结合初值条件来确定常数$C$；而对于非齐次线性微分方程，则需要加一个特解，再结合通解来确定常数。

二、解法

1. 常数变易法

对于一阶非齐次线性微分方程$\\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，设其通解为$y=C(x)e^{-\\int P(x)dx}$。将其代入方程，可以得到$$C'(x)e^{-\\int P(x)dx}=-Q(x)e^{\\int P(x)dx}$$ 解出$C(x)$，再代入上式即可得到通解。

2. 公式法

对于形如$\\frac{dy}{dx}+f(x)g(y)=0$的方程，可以将其转化为$$\\int\\frac{dy}{g(y)}=-\\int f(x)dx+C$$ 然后再解出$y$。

3. 变量分离法

对于形如$\\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$的方程，可以将其写成$$\\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$$ 然后再积分即可得到通解。

三、例题

例1. 求解微分方程$\\frac{dy}{dx}+2xy=e^x$。

解：原方程为一阶非齐次线性微分方程，通解为$y=Ce^{-x^2}+\\frac{1}{2}\\int e^x e^{x^2}dx$。由于后面一项无法求出原函数，所以需要使用常数变易法，设$y=C(x)e^{-x^2}$，代入方程可以得到$$C'(x)e^{-x^2}=-\\frac{1}{2}e^{x^2}$$ 解出$C(x)$，得到$y=-\\frac{1}{2}e^{x^2}\\int e^{-x^2}dx+\\frac{1}{2}e^{x^2}+Ce^{-x^2}$，去掉即可。

例2. 求解微分方程$\\frac{dy}{dx}=x^2\\sqrt{1-y^2}$，并求出它的特解，使得$y(0)=0$。

解：原方程为一阶变量分离式，可写成$$\\frac{dy}{\\sqrt{1-y^2}}=x^2dx$$ 两边积分，得到$$\\arcsin y=\\frac{1}{3}x^3+C$$ 再结合初值条件$y(0)=0$，得到$y=\\sin\\frac{1}{3}x^3$，再代入原方程验证可得。特解为$y=0$，去掉即可。

总结

本章主要介绍了一阶线性微分方程的定义及基本概念，以及三种解法（常数变易法、公式法、变量分离法）。其中，常数变易法是最常用的解法之一。在解题时，需要根据不同的情况进行选择，使用恰当的解法。在求解通解时，需要使用常数变易法；在求特解时，需要使用公式法或变量分离法。在解题过程中，需要注意细节，并对于每种解法都要熟练掌握。